习题 9, § 3

令 $A$ 为线性有序集合 $X$ 的子集。

a) 表明拓扑由拓扑 $\mathfrak{T}_-(X)$ 在 $A$ 上诱发 [resp. $\mathfrak{T}_+(X), \mathfrak{T}_0(X)$] (§ 2, 习题 5) 是更细比拓扑 $\mathfrak{T}_-(A)$ [分别。 $\mathfrak{T}_+(A), \mathfrak{T}_0(A)$]，$A$的排序是由$X$的排序引起的。如果 $A$ 是 $X$ 的区间，则 $\mathfrak{T}_-(A)$ [resp. $\mathfrak{T}_+(A), \mathfrak{T}_0(A)$] 是拓扑在 $A$ 上由 $\mathfrak{T}_-(X)$ [resp.] 诱发。 $\mathfrak{T}_+(X), \mathfrak{T}_0(X)$]。

b) 取$X$为乘积$\mathbf{Q} \times \mathbf{Z}$，按字典序（集合理论，章III, § 2, no. 6），取$A$为子集$\mathbf{Q} \times \{0\}$。表明拓扑 $\mathfrak{T}_-(A)$ [分别。 $\mathfrak{T}_+(A), \mathfrak{T}_0(A)$] 严格比 $\mathfrak{T}_-(X)$ 在 $A$ 上诱导的拓扑更粗糙。 $\mathfrak{T}_+(X), \mathfrak{T}_0(X)$]。