习题 10, § 4

a) 令$(X_\alpha, f_{\alpha \beta})$为拓扑空间的逆系，并令$X$为逆极限。设$f_\alpha$为典范映射$X \to X_\alpha$。对于每个$\alpha$，令$Y_\alpha$为$X_\alpha$包含$f_\alpha(X)$的子空间，使得$X_\alpha$的子空间为$Y_\alpha$形式逆系。证明$\varprojlim Y_\alpha$可以与$X$规范地识别。

b) 设$(X'_\alpha, f'_{\alpha \beta})$为拓扑空间的另一个逆系，具有相同的有向指标集合。对于每个$\alpha$，令$u_\alpha : X_\alpha \to X'_\alpha$为连续的映射，使得映射的$u_\alpha$形式逆系。 $X'_\alpha$的子空间的$u_\alpha(X_\alpha)$形式逆系；证明如果 $u = \varprojlim u_\alpha$ 和 $f_\alpha$ 是满射，则 $u(X)$ 在空间 $\varprojlim u_\alpha(X_\alpha)$ 中是稠密的。如果不再假设 $f_\alpha$ 是满射的，这个结果是否仍然有效？ （参见集合理论、章III, § 1、习题32。）