习题 25, § 8

a) 在集合$X$、规则拓扑的集合和没有孤立点的规则拓扑集合上，相对于关系，归纳集合““$\mathfrak{T}$比$\mathfrak{T}'$更粗糙”。

b) A topology $\mathfrak{T}$ on a set $X$ is said to be ultraregular if it is maximal in the set of topologies on $X$ which are regular and have no isolated points; hence given any regular topology on $X$ with no isolated points, there is a finer ultraregular topology. 如果拓扑是超正则的，则称空间是超正则的。 证明没有孤立点的正则拓扑 $\mathfrak{T}$ 是超正则当且仅当，每当 $A$ 和 $B$ 与没有孤立点的 $X$ 的子集互补，则 $A$ 和 $B$ 开集合。 特别是，超正则空间是不可解的（$§ 2$，习题 11）。 （为了证明条件是充分的，请观察如果$\mathfrak{T}'$是没有孤立的点的正则拓扑并且更细比$\mathfrak{T}$，并且如果$U$是关于$\mathfrak{T}'$的非空开集合并且$\overline{U}$是其在拓扑$\mathfrak{T}'$的闭包，那么$\overline{U}$和$X - \overline{U}$相对于拓扑$\mathfrak{T}'$没有孤立的点）。

c) 在超正则空间中，每一个没有孤立的点的集合的闭包都是开的，并且稠密的集合的内部是稠密的；因此，两个稠密的集合的交是稠密的。推断如果$\mathfrak{T}_0$是超正则拓扑，则在所有拓扑$\mathfrak{T}$中，使得$\mathfrak{T}^* = \mathfrak{T}_0$（习题20）有一个（必然是次极大的）比所有其他拓扑更细。