习题 18, § 9

如果 Hausdorff 空间 $X$ 具有以下性质，则称其为绝对闭：对于 $X$ 的每个同胚 $f$ 到 Hausdorff 空间 $X'$ 的子空间，$f(X)$ 闭于$X'$。每个紧凑型空间都是绝对封闭的。

a) 证明以下条件是等价的：

(AF') 空间 $X$ 绝对封闭。

(AF'') $X$ 上由开集合组成的每个过滤器基至少有一个簇点。

(AF''') 每个$X$的闭子集族，其交为空包含，都是一个有限子族，使得该子族中子集的内部有一个空交。

(AF''') $X$ 包含的每个开覆盖都是一个有限子族，其闭包覆盖$X$。

b) 令 X 为 Hausdorff 空间，U 为 X 的稠密开子集。假设 U 上由开放集合组成的每个过滤器基在 X 中至少有一个簇点。证明在这些下条件 X 是绝对封闭的。特别是，如果 A 是绝对闭空间 X 的开子集，则$\overline{A}$ 是绝对闭的。

c) 令X为绝对闭空间，并令$f$为X到豪斯多夫空间$X'$的连续映射。证明$f(X)$是$X'$的绝对闭子空间。

d) 证明两个绝对闭空间中的乘积是绝对闭的（如no. 10中的命题 17）。