习题 20, § 9

如果X的不同点的每个对都有不相交的闭邻域，则拓扑空间X被称为完全豪斯多夫（并且X的拓扑被称为完全豪斯多夫）。

a) 每个正则空间都完全是 Hausdorff。完全 Hausdorff 空间的每个子空间都是完全 Hausdorff。完全 Hausdorff 空间的每个乘积都是完全 Hausdorff。每个拓扑比完全 Hausdorff 拓扑更细都是完全 Hausdorff。

b) 每个最小完全 Hausdorff 空间 X (习题 19) 都是紧的。 （通过反证法：考虑X上的超滤器$\mathfrak{U}$以及由集合（其中属于至$\mathfrak{U}$）形成的过滤器基）。

c) 令$\theta$为无理数数 > 0。对于每个点$(x, y) \in \mathbf{Q}^2$和每个$\alpha > 0$，令$B_\alpha(x, y)$为$(x, y)$和点$(z, 0) \in \mathbf{Q}^2$的集合由……组成，使得$|z - (x + \theta y)| < \alpha$ 或 $|z - (x - \theta y)| < \alpha$。令 $\mathfrak{B}(x, y)$ 为 $B_\alpha(x, y)$ 的集合，其中 $\alpha$ 穿过实数 > 0 的集合。证明 $\mathbf{Q}^2$ 上存在 Hausdorff 拓扑 $\mathfrak{T}$，使得对于每个 $(x, y)$， $\mathfrak{B}(x, y)$ 是 $\mathfrak{T}$ 的$(x, y)$ 的邻域的基本系统。证明，给定 $\mathbf{Q}^2$ 的任意两个点 $a, b$，$a$ 的每个闭邻域都满足拓扑 $\mathfrak{T}$ 中$b$ 的每个闭邻域