习题 25, § 9

a) 令$X$为可访问空间，并令$\Phi$为$X$上过滤器的集合，其中基由……组成为封闭集合。证明集合$\Phi$是归纳性的，并令$X''$为$\Phi$中最大滤波器的集合。

b) 对于$X$的每个开子集$U$，令$U^*$为过滤器$\mathfrak{F} \in X''$的集合，使得$U \in \mathfrak{F}$。如果$U, V$是$X$的两个开子集，那么

（注，如果$\mathfrak{F} \in X''$满足$U \notin \mathfrak{F}$，则$X = U \in \mathfrak{F}$）。证明 $X''$ 上拓扑的集合 $U^*$ 形式基并且在此拓扑 $X''$ 是拟紧的 [验证公理 (C'''')，使用注上面]并且可访问[如果$\mathfrak{F}, \mathfrak{G}$是$X''$的两个不同的元素，则表明$X$中存在两个不相交的闭子集$A$和$B$，使得$A \in \mathfrak{F}$和$B \in \mathfrak{G}$]。

c) 对于每个$x \in X$，令$\varphi(x)$为$X$上的超滤器，其中单个集合$\{ x \}$为基。证明$\varphi$是$X$到$X''$的稠密子集的同胚，并且如果$X$是拟紧的（并且可达），那么$\varphi(X) = X''$。

d) 证明对于 $X$ 的每个连续映射 $f$ 到紧凑空间 $Y$ ，都有一个唯一的连续映射 $g : X'' \to Y$ 使得$f = g \circ \varphi$。

e) 令$\tilde{X}$为与$X''$相关的通用Hausdorff空间（$§ 8$，习题27）；证明典范映射 $\psi : X'' \to \tilde{X}$ 是满射且 $\tilde{X}$ 是紧致的。因此，$X$的每个连续映射到紧凑的空间$Y$都可以唯一地写成形式$f = h \circ \psi \circ \varphi$，其中$h : \tilde{X} \to Y$是连续的。