习题 29, § 9

如果 $X$ 的每个点都有一个准紧的系统邻域，则拓扑空间 $X$ 被称为“局部准紧”。

a) 证明在局部拟紧空间中，每个准紧子集都有一个准紧邻域的基本系统。

b) 证明局部拟紧空间的每个局部闭子空间都是局部拟紧的。

*c) 在实平面$\mathbf{R}^2$的封闭欧氏圆盘$B : ||x|| \leq 1$上，令$\mathfrak{T}_0$为$\mathbf{R}^2$的拓扑，令$\mathfrak{T}$为(更细)拓扑，定义如下： 邻域滤波器$B$的点$x \neq (1,0)$对于$\mathfrak{T}$和$\mathfrak{T}_0$是相同的，但是对于点$(1,0)$，拓扑$\mathfrak{T}$中邻域的基本系统由下式构成： 集合

其中 $D$ 是任何以 $(1,0)$ 为中心的开盘，$B_0$ 是*开*盘 $||x|| < 1$。令$Y$为集合$B$和拓扑$\mathfrak{T}$，并令$R$为$Y$上的等价关系，其中等价类为集合$S$ B 中的 $x \neq (1,0)$ 使得 Y 的 $||x|| = 1$ 和子集由 B — S 的单个点组成。证明商空间 $X = Y/R$ 是拟紧的，但不是局部拟紧的。 \*