习题 8, § 9

令$X$为拓扑空间，令$(G_\alpha)_{\alpha \in A}$为$X$上的等价关系图族，其指标集合$A$是有向的；令$R_\alpha$为关系$(x, y) \in G_\alpha$，令$\varphi_\alpha$为典范映射$X \to X/R_\alpha$。假设如果$\alpha \leq \beta$则关系$R_\beta$蕴涵$R_\alpha$，并令$\varphi_{\alpha \beta}$为典范映射$X/R_\beta \to X/R_\alpha$；那么$(X/R_\alpha, \varphi_{\alpha \beta})$是拓扑空间的逆系。让$Y = \varprojlim X/R_\alpha$。

(*) 这个例（未发表）由 D. Zelinsky 提供。

a) 设$g : X \to Y$为连续的映射$\varprojlim \varphi_\alpha$。证明 $g(x)$ 在 $Y$ 中是稠密的，并且对于每个 $x \in X$，$\overline{g^{-1}}(g(x))$ 是 $x$ 的类相对于等价关系，其图为 $\bigcap_\alpha G_\alpha$。

b) 假设所有$R_\alpha$都是*闭*等价关系，并且对于$x$的每个$x \in X$和每个邻域$V$，存在指标$\alpha$，使得$x$的类相对于$R_\alpha$包含在$V$中。证明在这些条件$g$下是$X$到$g(X)$的*开*映射。

c) 证明如果类 mod $R_\alpha$ 对于每个 $\alpha \in A$ 都是闭且拟紧的，那么 $g$ 是*满射*。