Exercice 8, § 9

Soit p un nombre premier. On désigne par Z_n l’ensemble Z des entiers rationnels, muni de la topologie image réciproque de la topologie discrète par l’application canonique de Z sur Z/p^nZ ; pour m ≤ n, on désigne par f_{mn} l’application identique Z_n → Z_m, qui est continue. Montrer que les Z_n sont des espaces quasi-compacts, mais que la limite projective du système projectif (Z_n, f_{mn}) n’est pas un espace quasi-compact.¹