习题 3, § 3

a) 令$\mathfrak{U}$表示实直线$\mathbf{R}$上的加性均匀性，令$\mathfrak{U}_1$表示由延长线$\overline{\mathbf{R}}$在$\mathbf{R}$上引起的均匀性，令$\mathfrak{U}_2$表示由单点压缩$\tilde{\mathbf{R}} = P_1(\mathbf{R})$在$\mathbf{R}$上引起的均匀性$\mathbf{R}$。证明$\mathfrak{U}$严格比更细比$\mathfrak{U}_1$严格，$\mathfrak{U}_1$严格比更细比$\mathfrak{U}_2$严格，并且这三个均匀性引起的拓扑是相同的；另外，$\mathbf{R}$对于这三个均匀性的完成度分别为$\mathbf{R}$、$\overline{\mathbf{R}}$和$\tilde{\mathbf{R}}$。 $\mathbf{R}$ 扩展的恒等映射通过连续到单射但非满射映射 $\mathbf{R} \to \overline{\mathbf{R}}$ 以及连续到满射但非单射映射 $\overline{\mathbf{R}} \to \tilde{\mathbf{R}}$。

b) 从两个 Hausdorff 一致空间 $X, Y$ 和一致连续双射 $u : X \to Y$ 的 a) 例推导出来，其中扩张通过连续性 $\bar{u} : \hat{X} \to \hat{Y}$ 既不是单射也不是满射。*