习题 18, § 4

a) 证明紧连通空间 $X$ 不能是并的可数无穷互不相交的非空闭集合 [通过归谬法：如果 $(F_n)$ 是可数无穷划分将$X$转化为闭集合，借助习题17证明存在紧连通的集合$K$，它不满足$F_1$，但满足集合$F_n$的无限数；在阶中，要做到这一点，请考虑$F_2$的点的组成部分，相对于$F_2$的紧凑邻域不满足$F_1$。然后使用归纳法]。

b) 扩展 a) 到局部紧连通空间 $X$ 在以下两个补充条件之一或另一个下的结果：$F_n$ 之一是紧连通的，或者$X$ 是局部连通的。 [在第一种情况下，约化通过习题17到达a)]。

*c) 令$X$为$\mathbf{R}^3$的子空间，即以下子空间的并：$A_n$是半线$x > 0,\ y = 1/n,\ z = 0\ (n \geq 1)$； $B_n$是区间$2n < x < 2n + 2,\ y = 0,\ z = 0\ (n \geq 0)$； $C_n$ 是集合由关系定义

其中$n \geq 0$。

证明 $X$ 是连通且局部紧的，并且是不相交的相互连通的非空闭集合的可数无限族中的并。 \*