习题 23, § 4

令 f : X → Y 为连续开映射、X局部紧致且 Y Hausdorff。

a) 如果 K 是 Y 的任意紧凑连接子集且 C 是 $\overline{f}(K)$ 的任意紧凑分量，则证明 $f(C) = K$（约化对于 K = Y 的情况，并使用 no. 4 的命题 6 的推论）。 给出 $\overline{f}(K)$ 的非紧组件 C' 的例，使得 $f(C') \neq K$。

b) 假设在加法中 Y 是局部紧且局部连通的。证明如果 U 是 Y 的任何连通开路子集，且 R 是 X 中$\overline{f}(U)$ 的任何相对紧组件，则$f(R) = U$。 [观察到，在局部紧凑局部连接空间中，连接的开路集合 U 是 U 中包含的紧凑连接集合和包含给定的点 $y_0 \in U$ 的并；然后应用a)。]

c) 假设在加法中X是本地连接的。 证明如果 K 是 Y 的任何连通的子集，它要么是开路的，要么是内部非空的紧致，并且如果 H 是 X 的任何紧致子集，则 H 中仅包含有限的 $\overline{f}(K)$ 分量数。 [使用a)和b)]。