习题 7, § 4

制服空间 $X$ 的子集 $A$ 被称为“有界”，如果对于 $X$ 的每个随行人员 $V$ 存在有限集合 $F$ 和整数 $n > 0$，使得$A \subset^n V(F)$。

a) 两个有界子集中的并是有界的。有界子集的闭包是有界的。每个预紧凑子集都是有界的。

b) 如果$f : X \to Y$一致连续，则$X$的每个有界子集在$f$下的像是$Y$的有界子集。

c) 在非空一致空间的乘积中，集合是有界的当且仅当它的每个投影都是有界的。

d) 对于$X$的每个对称周边$V$，让$R_V$表示集合$V^n$的并，因为$n$穿过整数$> 0$。证明 $R_V$ 在 $X \times X$ 中既开又闭，并且在 no. 4 的记号中，

每$x \in X$。假设$R_V = X \times X$对于$X$的每个对称周边$V$（如果$X$连通，则尤其如此）；证明集合$A \subset X$是有界的当且仅当对于$X$的每个对称周边$V$和每个$x_0 \in X$，存在整数$n > 0$使得$A \subset^n V(x_0)$。