习题 28, § 2

a) 令 $S$ 为拓扑群 $G$ 的稳定子集。证明 $\dot{S}$ 和 $\bar{S}$ 稳定，并且 $S \dot{S} \subset \dot{S}$ 和 $S \bar{S} \subset \bar{S}$。如果$S$也开且$e \in \bar{S}$，则$S = \dot{\bar{S}}$（如果$x \in \bar{S} - S$，则表明$x$是$S$的边界点）。

b) 从现在开始，在这个习题中，$G$ 是一个可交换拓扑群，是加法写的。对于$G$的每个非空子集$A$，令$s(A)$表示所有$x \in G$中的集合，使得$x + A \in A$，即集合$A - y$的交为$y$贯穿$A$；让$b(A) = s(A) \cap s(-A)$。 集合$s(A)$是$G$的稳定子集，$b(A)$是所有$x \in G$中$G$由……组成的子群，使得$x + A = A$。证明如果$F$是$G$的任何非空闭子集，则$s(F)$是闭的。对于$G$的每个非空子集$A$，我们有$s(A) \subset s(\overline{A})$和$s(A) \subset s(\dot{A})$；如果$A = \dot{\overline{A}}$，则$s(\dot{\overline{A}}) = s(\overline{A})$。

c) 令$\mathscr{S}$为$G$的所有稳定开放子集$S$的集合，使得$0 \notin S$，并假设$\mathscr{S} \neq \emptyset$。那么集合 $\mathscr{S}$，按包含排序，是归纳的；令 $\mathfrak{M} \neq \emptyset$ 为其极大元素中的集合。证明如果 $M \in \mathfrak{M}$，则 $M = \overline{M}$ [使用 $a$]，并且对于每个整数 $n > 0$，$M$ 等于所有 $x \in G$ 的集合，使得 $nx \in M$。在加法中，子群$b(M)$等于$G$中$M \cup (-M)$的补集（如果$x \notin M$和$-x \notin M$，则考虑集合$kx + M$的并为整数） $k \geq 0$);推断出$G = M - M$。

如果存在$M \in \mathfrak{M}$使得$B = b(M)$，则$G$的闭合子群$B$被称为残差。

$G$的所有余数子群中的$d$交称为$G$的根，记为$T_G$。如果$T_G = G$（或$T_G = \{0\}$），则$G$被认为是部首群（或群没有部首）。对于$x$到属于到$T_G$，$G$的每个稳定开放子集是必要且充分的，其中包含$x$也应该包含$0$。推断如果$G$是离散的，则$T_G$是$G$的挠元子群。如果$f$是$G$的任何连续同态到交换拓扑群$G'$，则$f(T_G) \subset T_{G'}$。如果$H$是$T_G$中包含的$G$的子群，则$T_{G/H} = T_G / H$。 子群$T_G$是$G$的子群$H$的最小的使得$G/H$没有部首。

$e$ 证明，$G$的子群$H$中，使得$T_H = H$存在最大的、$H_0 \subset T_G$，是闭集。

$f$ 如果 $T_G \neq G$，则 $T_G$ 是开放的，当且仅当 $G$ 中存在剩余开放子群 [表明，如果 $b(M)$ 对于某些 $M \in \mathfrak{M}$ 是开放的，则$T_G \supset b(M)$，通过使用 $e$]。