习题 4, § 2

a) 在半拓扑群$G$中，$e$的邻域的交既开又闭，是一个闭子群$H$，它在$G$的所有自同构下保持不变（注可以有将$G$中的任意划分分成两个开闭子集，每个都满足$H$）。

b) 在 $G$、定义映射 $\varphi : \mathfrak{G} \to \mathfrak{G}$ 的所有子群的集合 $\mathfrak{G}$ 如下：如果 $H$ 是 $G$ 中的任意子群，则 $\varphi(H)$ 是$H$中的子群，即$H$中所有同时打开和关闭的$e$的邻域中的交。在集合$\mathfrak{G}$中，按关系$\supset$排序，考虑$G$相对于映射$\varphi$的链$\Gamma$（集合理论，章III, § 2， 习题6);证明$\Gamma$的最小的子群是$G$中$e$的连通分量（注这最小的子群必须连通）。