习题 7, § 5

令 $(x_{mn})$ 为 Hausdorff 交换律群 $G$、满足以下条件的点双序列 ： (a) 由序列$(x_{mn})_{n \in \mathbf{N}}$定义的级数对于每个$m \geq 0$是收敛的；令$y_m$为其和。 (b) 如果我们放入$r_{mn} = \sum_{p=n}^{\infty} x_{mp}$，那么由序列$(r_{mn})_{m \in \mathbf{N}}$定义的级数对于每个$n \geq 0$是收敛的；令$t_n$为其和。

证明对于由序列 $(x_{mn})_{m \in \mathbf{N}}$ 定义的每个 $n \geq 0$ 级数是收敛的，并令 $z_n$ 为其和。 项为$y_m$的级数与级数具有相同的和，其一般项为$z_n$当且仅当$t_n$趋于$0$且$n$趋于无穷大。