习题 10, § 6

a) 令$B$为环和单位元素，令$E$为自由$B$模块$B_d^{(I)}$，并令$A$为$E$的自同态的环$\mathscr{L}(E)$。对于$E$的每个有限子集$F$，让$V_F$是所有$u \in A$的集合，这样$u(x) = 0$对于所有$x \in F$。证明$V_F$来自$0$的邻域的基本系统，对于$A$上的Hausdorff拓扑，它与$A$的环结构兼容，并且相对于$A$完全断开。

b) 取$I = \mathbf{N}$并取$B$为交换环，它没有零因数，但其根式$\mathfrak{R}$不是$\{0\}$。证明$A$的根式不闭。 [令 $(e_n)$ 为 $E$ 中的典范基。 注一方面每个$u \in A$，使得$u(e_n) = 0$除了指标的有限数之外的所有$u(E) \subset \mathfrak{R} \cdot E$，属于到$A$的根式；另一方面考虑$A$的元素$u_0$，使得$u_0(e_n) = e_n + te_{n+1}$与$t \neq 0$在$\mathfrak{R}$中，对于每个$n$]。