习题 1, § 1

拓扑 $\mathfrak{T}$ 在有序交换群 $G$ 上，如果它与 $G$ 的群结构兼容并且在加法集合中，则称它与 $G$ 的有序群结构 相容的 $G$ 中元素 $x \geq 0$ 的$G_+$ 相对于$\mathfrak{T}$ 封闭。

a) 令$\mathfrak{T}$为与$G$的有序群结构兼容的豪斯多夫拓扑，并令$\hat{G}$为$G$的完成（相对于$\mathfrak{T}$）。在群$\hat{G}$中，$G_+$的闭包$P$使得$y - x \in P$是与$\hat{G}$的群结构兼容的预排序。

b) 令$\theta$为无理数，并考虑$\mathbf{Q}^2$的排序，其中正元素的集合由$(0, 0)$和所有对$(x, y)$组成，使得$y - \theta x \geq 0$。对于该排序，$\mathbf{Q}^2$是线性排序的群，并且$\mathbf{Q}^2$上的拓扑（即有理线的拓扑的乘积）本身与该有序的群结构兼容。但在 $\hat{G} = \mathbf{R}^2$ 上，关系 $y - x \in P = \overline{G}_+$ 不是一个排序。

c) 在线性有序群 $G$ 上，拓扑 $\mathfrak{T}_0(G)$ (章 I, § 2, 习题 5) 是与有序群结构兼容的所有拓扑中最粗的（区分两种情况，根据所有拓扑中的集合） $x > 0$ 有或没有最小的元素）。 $G$上的每个拓扑与$G$的群结构兼容并且比$\mathfrak{T}_0(G)$更细都与$G$的有序群结构兼容，并且映射$x \to x^+$对于这样的连续拓扑。该映射相对于$\mathfrak{T}_0(G)$一致连续，但不一定相对于群拓扑$\mathfrak{T}$严格更细比$\mathfrak{T}_0(G)$[参见b)]。