习题 11, § 2

a) 令 $X$ 为集合与拓扑 $\mathfrak{T}_0(X)$ 的线性有序。如果 $X$ 是连通的并且具有可数稠密子集 $A$，则表明存在 $X$ 同胚（凭借习题 8 严格单调）到 $R$ 的区间之一，端点为 0、1，其中映射 $A$以此间隔到 $Q$ 的交上（使用习题 9 和 7）。

b) 从a)推导出，如果$B$是$R$的子集，其补集在$R$中稠密，则存在$R$自身同胚，其中映射$B$到集合的子集无理数数的$CQ$（考虑$CB$中包含$R$的密集可数子集$A$）。

c) 在集合$R \times \{0, 1\}$中，按字典顺序线性排序，令$R'$表示$Q \times \{1\}$的补集。证明 $R'$ 具有拓扑 $\mathfrak{T}_0(R')$，是局部紧致且完全不连通的，并且包含是与 $Q$ 同胚的可数稠密子集 $Q'$，但是拓扑在非空开区间上导出$R'$ 没有可数的基；特别是这样的区间不能同胚于$R$的任何子集。