习题 9, § 2

a) 令 $X$ 为无间隙的可数线性有序集合 (习题 7)。证明$X$的严格递增的双射映射$\varphi$位于$Q$的四个区间之一，端点为0和1。[将$X$的元素和$Q$适当区间的点排列在序列 $(a_n), (b_n)$，以及定义 $\varphi$ 归纳。] 如果$X$ 赋予拓扑 $\mathfrak{T}_0(X)$，则$\varphi$ 是$X$ 到$\varphi(X)$ 的同胚。

b) 从a) 推导出$R$ 的开区间]$a, b[$ 的每个可数稠密子集同胚于$Q$。

c) 从a)推导出，如果$X$是任意可数有序集合且赋予拓扑$\mathfrak{T}_0(X)$，则存在$X$到$Q$的子空间的严格递增的同胚[将$X$嵌入可数中线性有序空间 $X'$ 无间隙，使得 $\mathfrak{T}_0(X)$ 由 $\mathfrak{T}_0(X')$] 诱导。