习题 11, § 6

让$\overline{\mathbf{R}}$携带*右*拓扑（章I, § 1，习题2）。拓扑空间$X$到$\overline{\mathbf{R}}$的映射$f$在此拓扑中是连续的，当且仅当$f$在$X$的*每个*点处具有相对最小值。如果 $X = \mathbf{R}$（通常为拓扑），则表明集合 $f(X)$ 是*可数*。 [假设结果为假，且区间$[\alpha, \beta] \cap f(X)$不可数；对于每个$y \in [\alpha, \beta]$，令$U(y) = \overline{f}^{-1}([y, +\infty])$； $U(y)$ 是$\mathbf{R}$ 中的*开* 子集。令$(I_n)$为$U(\beta)$分量的序列（有限或无限），对于每个$n$，令$x_n$为$I_n$的点；对于每个$y \in [\alpha, \beta]$，令$g_n(y)$（或$h_n(y)$）为$U(y)$（其中包含$x_n$）分量的左侧（或右侧）端点。证明对于$n$中的至少一个值，函数$g_n, h_n$之一必须取$[\alpha, \beta]$中不同值的不可数无穷多个；现在使用习题 8 / § 5]。