a) 对于每个区间I⊂R，令G(I)表示I自身同胚的群。证明如果I和J是R的任意两个区间，每个包含都大于1个点，则G(I)和G(J)同构的。在G(I)中，递增同胚的集合F(I)是指标2的正规子群。
b) 设G=G(R)和F=F(R)。对于每个f∈G和每个x∈R，让σ(x;f)表示sgn(f(x)−x)。令 T+（分别为 T−）为所有 f∈F 的集合，使得 σ(x;f) 是常数，并且在 R 上等于 1（分别为 −1）。证明T+（或T−）的每个元素在F到翻译x→x+1（或x→x−1）中都是共轭。 [如果f∈T+，则考虑点fn(o),n∈Z中的序列]。
c) 令T=T+∪T−。表示T∗的两个元素中的F中不存在属于到T的每个f∈F为乘积。 [将f=f1f2写入F，其中f1(x)=sup(x,f(x))和f2(x)=inf(x,f(x))；如果g是x→x+1的翻译，那么f1g和g−1f2属于到T]。
d) 两个元素f,g在F中是共轭当且仅当存在s∈F使得σ(x;f)=σ(s(x);g)对于所有x∈R。 [考虑所有x的开集合的分量In使得σ(x;f)=0；观察F(In)和F同构的（a）并使用b]。特别地，如果[a,b]是R的区间，使得σ(a;f)=σ(b;f)=0对于某些f \in F，则F的元素f′其中重合与f对于x≤a或x≥b并且是这样的f′(x)=x+ε(f(x)−x) 对应 a<x<b，其中 0<ε<1 是 F 中的共轭到 f。
e) 令f∈F和a,b,c,d为四个实数，使得a<c<b<d和f(x)−x=0代表x=a,x=b,x=c,x=d，σ(x;f)=1代表a<x<c和b<x<d。令a′,b′是两个数，使得a≤a′<c和b<b′≤d；令J=[a,b],J′=[a′,b′]，令f1表示f至J中的限制；因此f1∈F(J)。证明J在J′上存在递增同态s，使得F(J′)的元素f2=sf1s−1使得每当a′<x<b′时f2(x)>f−1(x)[使用d]。
f) 令f∈F和[a,b]为R的区间，使得x=a和x=b为f(x)−x=0，x<a为σ(x;f)=−1，x>b为σ(x;f)=+1。证明F中存在g∈F、共轭到f，使得g(x)>f(x)适用于所有x∈R（同样的方法）。
g) 让H+（或H−）表示所有f∈F的F由……组成的正常子群，使得f(x)=x位于+∞（或−∞）的邻域中。证明H+,H−和H=H+∩H−是F除了F和{e}之外的唯一正规子群。 [如果N是F的正常子群，而不是F，并且如果f∈N不是属于到H+，则表明存在元素g∈N使得所有集合 x∈R，其中σ(x;g)=+1是一个区间]a,+∞]，并且对于x≤a我们有g(x)=x。为此，请使用 e) 和 f) 以及 b) 和 c) 的构造。为了表明N包含没有子群，除了H和{e}（在F中正常），请考虑元素f∈H与e不同；令a和b为下确界且x∈R的集合中的至少上界（均由假设有限），使得σ(x;f)=0。然后观察F([a,b])与F同构并使用前面的结果]。
h) 证明群 H 是简单的。 （与方法与证明相同，H包含在F中没有不平凡的子群正常）。