习题 14, § 7

令$(u_n)$为有限实数的序列，使得级数其一般项为$u_n$收敛但不绝对收敛；让$s = \sum_{n=0}^\infty u_n$。证明，对于每个数$s' \geq s$，$\mathbf{N}$存在置换$\sigma$，使得$\sigma(n) = n$对于那些指标$n$使得$u_n \geq 0$，并且使得$\sum_{n=0}^{\infty} u_{\sigma(n)} = s'$。 [通过$m$上的归纳表明，$\mathbf{N}$存在置换$\sigma_m$，使得$\sigma_m(k) = k$对于所有$k$，对于$u_k \geq 0$，并且这样，如果$u_k^{(m)}$表示$u_{\sigma_m(k)}$，则有整数 $p_m$ 与性质 $\left| s' - \sum_{i=0}^k u_i^{(m)} \right| \leq 1/m$ 对于所有 $k \geq p_m$。此外，$\sigma_{m+1}$使得$\sigma_{m+1}(k) = \sigma_m(k)$对于所有$k$使得$\sigma_m(k) < p_m$以及所有$k$使得$u_k \leq -1/m$。]