习题 13, § 8

令 $X$ 为可数 Hausdorff 空间。假设对于每个项都为0或1的有限序列$s$，$X$有一个非空的子集$B(s)$满足以下条件： (i) 如果$s$是$n$项（等于0或1）中的有限序列且$s', s''$是$n + 1$项（等于0或1）中的序列，其第一个$n$项是与$s$相同，然后是$B(s') \cup B(s'') = B(s)$和$B(s') \cap B(s'') = \varnothing$；如果$s_0$是空的序列，则$B(s_0) = X$。 (ii) 对于每个$x \in X$，如果$s_n$是$n$项的（唯一）序列等于0或1，使得$x \in B(s_n)$，则由$B(s_n)$形成的滤波器基收敛于$x$ $X$。 证明，在这些条件下，$E$ 同胚于有理线 $\mathbf{Q}$。 [首先证明$X$同胚于康托三元集合$K$的可数子集，它在$K$和包含中稠密，并且没有与$K$相邻的区间的端点。在阶中，注假设与每个$x \in X$关联一个无限序列$(u_n(x))$，其项等于0或1；利用 $X$ 是可数的事实，证明双射 $s \to B(s)$ 可以这样修改，即对于没有 $x \in E$ 的情况，$u_n(x)$ 形式是平稳的序列；最后使用习题 10 of § 2]。 推出$\mathbf{R}$中没有孤立的点的每个可数子空间都同胚于$\mathbf{Q}$。