习题 7, § 8

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一般拓扑, IV

Bourbaki marks this one as harder than the rest, it is set in small type as supplementary.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 $(\varepsilon_n)_{n \geq 0}$ 为数中的序列，其中每个为1或-1。显示实数

x_n = \varepsilon_0 \sqrt{2 + \varepsilon_1 \sqrt{2 + \varepsilon_2 \sqrt{2 + \cdots + \varepsilon_n \sqrt{2}}}}

被定义并且等于

2 \sin \left( \frac{\pi}{4} \sum_{k=0}^{n} \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_1 \ldots \varepsilon_k}{2^k} \right).

推断出 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 存在，并且对于每个实数 $x$ ，使得 $-2 \leq x \leq 2$ ，存在序列 $(\varepsilon_n)$ 使得 $x$ 等于相应的序列 $(x_n)$ 的极限。 $x$ 中的值序列 $(\varepsilon_n)$ 有何独特之处？对于 $x$ 中的值来说，它是周期性的？（参见习题3）。 \*

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

Exercise 3