习题 11, § 2

令 $X$ 为紧凑度量空间，度量为 $d$。证明如果 $f$ 是 $X$ 的映射到 $X$ 中，这样，对于 $X$ 的点的每个对 $x, y$，我们有 $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$，则 $f$ 是 $X$ 自身的等距。 [令$a, b$为$X$中的任意两个点，并放入$f^n = f^{n-1} \circ f$、$a_n = f^n(a)$、$b_n = f^n(b)$；通过选择$(a_n)$和$(b_n)$的合适子序列，证明对于每个$\varepsilon > 0$，都存在指标$k$，使得$d(a, a_k) < \varepsilon$和$d(b, b_k) < \varepsilon$；因此证明 $d(a_1, b_1), \ldots d(a, b)$ 和 $f(X)$ 在 $X$ 中是稠密的。]