习题 20, § 2

a) 在可度量的局部紧致空间$X$上给出闭等价关系$R$的例，它具有可数基，使得$X/R$是仿紧致的，但存在$X/R$的点，它没有可数的基数系统邻域 [cf. 章 I, § 10、习题 17 和章 IX, § 4、习题 24 a)]。

b) 令$X$为可度量的空间，并令$R$为$X$上的闭等价关系。 证明如果 $X/R$ 的每个点都具有邻域的可数基本系统，则每个等价类 (mod $R$) 在 $X$ 中都有一个紧致边界。 （表明如果结果为假，则$X$中将存在序列，所有点都是不同的，没有集群点，并且$X/R$中的像是序列，其收敛到与所有点不同的点序列。）对于每个$z \in X/R$，令$C_z$为$X$中$z$的逆像，并令$F_z$为$C_z$的边界（如果该边界不为空）；如果$C_z$既开又闭，则令$F_z$小于单个点的$C_z$由……组成中的任意子集。 令$Y$为集合$F_z$的并，因为$z$贯穿$X/R$。 证明 $Y/R_y$ 同胚于 $X/R$。