习题 4, § 2

如果度量 $d$ 满足不等式，则称度量空间 $X$ 是*超度量* 空间

对于$X$中的所有$x, y, z$（这意味着三角形不等式）（cf.§ 6，习题2）。

a) 如果$d(x, z) \neq d(y, z)$，则证明$d(x, y) = \sup(d(x, z), d(y, z))$。

b) 令 $V_r(x)$ 为开球，中心 $x$，半径为 $r$。证明 $V_r(x)$ 在 $X$ 中既开又闭（因此 $X$ 完全断开连接），并且对于每个 $y \in V_r(x)$，我们有 $V_r(y) = V_r(x)$。

c) 证明具有中心 $x$ 和半径 $r$ 的闭球 $W_r(x)$ 在 $X$ 中既开又闭，并且对于每个 $y \in W_r(x)$ 我们有

$W_r(x)$ 形式 $W_r(x)$ 的 划分 中包含半径为 $r$ 的不同开球，并且这些球中任意对之间的距离等于 $r$。

d) 如果 $X$ 的两个球（开球或闭球）相交，则其中一个包含在另一个中。

e) $X$ 的点的序列 $(x_n)$ 是柯西序列当且仅当$n$ 趋于无穷大而$d(x_n, x_{n+1})$ 趋于0。

f) 如果 $X$ 是紧致的，证明对于 $X$ 中$d(x_0, x)$ 的值的每个 $x_0 \in X$ 集合是 $[0, +\infty]$ 的（有限或无限）可数子集，其中所有点，可能的例外是0，是*隔离*[对于$d(x_0, x)$取的每个值$r$，考虑$d(x_0, x)$在点的集合上的最小上界，其中$d(x_0, x) < r$，以及其在集合上的下确界点其中 $d(x_0, x) > r$]。