习题 10, § 3

a) 如果伪度量 $w_1(x - y), w_2(x - y)$ 等效，则环 $A$ 上的两个半绝对值 $w_1, w_2$ 被称为“等效”。证明，如果$w$是$A$上的半绝对值，则$aw$和$w^{1/a}$是半绝对值，相当于对于每个实数$a \geq 1$的$w$。

b) 如果$w_i$ ($1 \leq i \leq n$) 是环 $A$ 上的半绝对值，则函数 $w = \sum_i w_i$ 和$w' = \sup_i w_i$ 是$A$ 上两个等价的半绝对值。如果

然后$a = \bigcap_i a_i$。如果$A_i$表示具有与$w_i$相关的豪斯多夫半绝对值的商环$A/a_i$的完备性，则证明具有与$w$相关的豪斯多夫半绝对值的$A/a$同构于子环乘积环 $\prod_i A_i$；表明（假设$A$有单位元素 1）这个环在$\prod_i A_i$中是密集的当且仅当$w_i$满足以下条件：对于每个$\varepsilon > 0$和每个指标$i$，存在元素 $x_i \in A$，使得每个指标 $k \neq i$ 都有 $w_i(1 - x_i) \leq \varepsilon$ 和 $w_k(x_i) \leq \varepsilon$。