习题 13, § 3

令$K$为非离散豪斯多夫拓扑划分环。令$R$为所有$x \in K$的集合，使得$\lim_{n \to \infty} x^n = 0$，并令$N$为集合$R \cup R^{-1}$的补集。证明$K$上存在绝对值，其中$K$的定义拓扑当且仅当（i）$R$在$K$中开； (ii) 对于$K$中$0$的每个邻域$V$，$K$中存在$0$的邻域$U$，使得$R.U \subset V$； (iii) 如果 $x \in R$ 和 $y \in R \cup N$，则 $yx \in R$。

为了证明这些条件是充分的，依次证明： a) $N$ 是乘法群 $K^*$ 的正常子群或$K$ 的非零元素。 b) 在商群$K^*/N$中，如果存在$x \in \dot{x}$和$y \in \dot{y}$，则放入$\dot{x} \leq \dot{y}$使得$yx^{-1} \in R \cup N$；表明这个关系是与$K^*/N$的群结构兼容的排序，并且如此定义的有序群与加法群$\mathbf{R}$的子群同构（使用章的习题1） V, § 3）。 c) 在习题 12 的帮助下完成证明。 特别是，非离散局部紧拓扑域的拓扑可以由绝对值定义。