习题 5, § 3

令$\omega$为有理数在域$\mathbf{Q}$上的绝对值值。 a) 证明$\omega$是由它在素数数处的值唯一确定的。 b) 如果存在一个素数数$p$使得$\omega(p) \leq 1$，则证明$\omega(q) \leq 1$对于所有其他素数数$q$[通过在$p$的标度中写出$q^n$来找到上界对于$\omega(q^n)$，并令$n \to \infty$]。 c) 如果存在一个素数数 $p$ 使得 $\omega(p) < 1$，则证明对于每个其他素数数 $q$ 都有 $\omega(q) = 1$ [通过使用以下事实表明我们不能有 $\omega(q) < 1$，对于每个整数 $n > 0$ 存在两个有理整数 $r$ 和$s$ 使得$1 = rp^n + sq^n$]。因此证明$\omega$是绝对值等价于$\mathbf{Q}$上的$p$进绝对值。 d) 如果 $\omega(p) > 1$ 对于每个素数数 $p$，证明如果 $p$ 和 $q$ 是任意两个素数数，则

[与 b) 中的方法相同]。因此表明，在这种情况下，对于某些$p \leq 1$，$\omega(x) = |x|^p$。 \*