习题 13, § 4

令$(X_i)_{i \in I}$是Hausdorff拓扑空间的*不可数*族，每个包含多于一个点。对于每个$i \in I$，令$a_i$和$b_i$是$X_i$的两个不同的点。令$X$为乘积空间$\prod_{i \in I} X_i$，并令$Y$为这些点$(x_i)_{i \in I}$中的$X$由……组成中的子空间，使得除了*可数*之外的所有$x_i = a_i$ 集合 of 指标 $i$;令 $b$ 为 $X$ 的点 $b_i$。

在乘积空间$X \times Y$中，令$A$为$Y \times Y$的对角线，并令$B$为集合$\{b\} \times Y$。证明$A$和$B$是闭集合，并且在$X \times Y$中不存在开集合$U, V$的对，使得$A \subset U, B \subset V$和$U \cap V = \emptyset$。 [令$U, V$是两个开集合，使得$A \subset U$和$B \subset V$；证明 $I$ 的可数子集存在递增序列 $(H_n)$，使得如果 $x_n$ 表示 $Y$ 的点，其中指标 $i \in H_n$ 的每个坐标等于$b_i$，且指标 $i \notin H_n$ 的每个坐标都等于 $a_i$，则对于每个整数 $n$，点 $(x_{n+1}, x_n)$ 属于到 $V$；证明序列$(x_{n+1}, x_n)$趋向于$A$的点，并推导出$U \cap V \neq \emptyset$。]

因此，连通拓扑环的构造例是不正常的。

还推导出不可数豪斯多夫拓扑空间族的乘积，每个族至少有两个不同的点，不能是完全正规的（当每个$X_i$是两个点的离散空间时，使用上面的结果）。