Exercice 13, § 4

Soit L un ensemble non dénombrable; on considère l’espace complètement régulier $X = \mathbf{N}^L$ ($\mathbf{N}$ étant muni de la topologie discrète). Soit A (resp. B) l’ensemble des $x = (x(\lambda))_{\lambda \in L}$ dans X tels que, pour tout entier $k \neq 0$ (resp. $k \neq 1$) l’ensemble des $\lambda \in L$ tels que $x(\lambda) = k$ ait au plus un élément. a) Montrer que A et B sont fermés et sans point commun dans X. b) Soient U, V deux ensembles ouverts dans X tels que $A \subset U, B \subset V$. On désigne par $\Phi$ l’ensemble des ensembles élémentaires (I, p. 24) dans X dont les projections qui sont distinctes de $\mathbf{N}$ sont réduites à un seul élément; pour tout $W \in \Phi$, soit $H(W)$ l’ensemble des $\lambda \in L$ tels que $\operatorname{pr}_\lambda(W)$ soit réduit à un seul élément. Montrer qu’il existe une suite $(x_n)$ de points de A, une suite $(U_n)$ d’ensembles de $\Phi$, une suite $(\lambda_n)$ d’éléments distincts de L et une suite strictement croissante $(m(n))_{n \in \mathbf{N}}$ d’entiers, ayant les propriétés suivantes: $1^\circ U_n \subset U$ est un voisinage de $x_n$; $2^\circ H(U_n)$ est l’ensemble des $\lambda_k$ tels que $k \leq m(n)$; $3^\circ$ on a $x_0(\lambda) = 0$ pour tout $\lambda \in L$ et pour tout $n > 0$, $x_n(\lambda_k) = k$ si $k \leq m(n - 1)$ et $x_n(\lambda) = 0$ pour les autres $\lambda \in L$.

c) Soit $y \in B$ le point tel que $y(\lambda_k) = k$ pour tout entier $k$ et $y(\lambda) = 1$ pour les $\lambda \in L$ distincts des $\lambda_k$. Soit $V_0 \subset V$ un ensemble de $\Phi$ contenant $y$ et soit $n$ un entier tel que $\lambda_k \in L - H(V_0)$ pour tout $k > m(n)$. Montrer que $U_{n+1} \cap V_0 \neq \varnothing$, et en conclure que $X$ n’est pas normal.