Bài tập 13, § 4

. Chứng minh rằng tích $X \times Y$ là chuẩn tắc. (Cho A, B là hai phần đóng của $X \times Y$ không có điểm chung; với mỗi $x \in X$, chứng minh rằng tồn tại một lân cận $U_x$ của x trong X và hai tập mở $V_x, W_x$ trong F, sao cho $\overline{V_x} \cap \overline{W_x} = \varnothing$ và với mọi $z \in U_x$, ta có $A(z) \subset V_x$ và $B(z) \subset W_x$; để thấy điều này ta suy luận bằng phản chứng. Cho $(T_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một phủ mở hữu hạn địa phương của X, mịn hơn $(U_x)_{x \in X}$, và cho $(f_\lambda)$ là một phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào $(T_\lambda)$; với mọi $\lambda \in L$, cho $x(\lambda)$ là sao cho $T_\lambda \subset U_{x(\lambda)}$, và cho $g_\lambda$ là một ánh xạ liên tục từ Y vào $[0, 1]$, bằng 0 trên $\overline{V}_{x(\lambda)}$, bằng 1 trên $\overline{W}_{x(\lambda)}$; xét trong $X \times Y$ hàm $\sum_\lambda f_\lambda(x) g_\lambda(y)$). b) Cho $X = [a, b[$ là không gian compact địa phương được xác định trong exerc. 12 của I, p. 106, $Y = [a, b]$ là không gian compact thu được bằng phép nối vào X một điểm ở vô cực; X là chuẩn tắc (IX, p. 102, exerc. 8) và nửa compact (IX, p. 94, exerc.