习题 2, § 4

设$X$是满足公理$(O_V)$的拓扑空间。

a) 证明对于$X$上的每个实值连续函数$f$，$X$的两个点$x, y$之间的关系$R : \overline{\{x\}} \cap \overline{\{y\}} \neq \varnothing$等价于关系$R' : "f(x) = f(y)"$；因此表明$R$是$X$上的等价关系。

b) 证明商空间$Y = X/R$是正规的，并且如果$\varphi : X \to Y$是典范映射，$X$上的每个连续实值函数$f$都可以写成形式$f = g \circ \varphi$，其中$g$是$Y$上的连续实值函数。