Bài tập 2, § 4

Cho $X$ là một không gian tôpô thỏa mãn tiên đề $(O_V)$.

a) Chứng minh rằng quan hệ $R : \overline{\{x\}} \cap \overline{\{y\}} \neq \varnothing$ giữa hai điểm $x, y$ của $X$ tương đương với quan hệ $R' : "f(x) = f(y)"$ đối với mọi hàm liên tục thực $f$ trên $X$; từ đó chứng minh rằng $R$ là một quan hệ tương đương trên $X$.

b) Chứng minh rằng không gian thương $Y = X/R$ là chuẩn tắc và rằng, nếu $\varphi : X \to Y$ là ánh xạ chính tắc, mọi hàm liên tục thực $f$ trên $X$ có thể được viết dưới dạng $f = g \circ \varphi$, trong đó $g$ là một hàm liên tục thực trên $Y$.