Exercice 2, § 4

Soit $X$ un espace topologique vérifiant l’axiome $(O_V)$.

a) Montrer que la relation $R : \overline{\{x\}} \cap \overline{\{y\}} \neq \varnothing$ entre deux points $x, y$ de $X$ est équivalente à la relation $R'$: « pour toute fonction numérique $f$ continue dans $X$, $f(x) = f(y)$ », et en déduire que $R$ est une relation d’équivalence dans $X$.

b) Montrer que l’espace quotient $Y = X/R$ est normal et que, si $\varphi$ est l’application canonique de $X$ sur $Y$, toute fonction numérique $f$ continue dans $X$ peut s’écrire $f = g \circ \varphi$, où $g$ est une fonction numérique continue dans $Y$.