习题 27, § 4

如果$X$的每个点都有一个*封闭*邻域，即$X$的仿紧致子空间，则拓扑空间$X$被称为“局部仿紧致”。

() 有空间是完全正规和集体正规，但不是超紧致，以及空间是完全正规和超紧致，但不是集体正规（因此不是仿紧致）； cf. E.迈克尔，Can。日记。数学* 7 (1955)，第 275-279 页。

a) 证明局部仿紧空间是完全正则的。

b) 在习题 26 b) 中定义的紧凑空间 $Y_0 \times Z$ 中，令$H$ 为点 $(b, y)$ 的集合的补集，其中$y < c$。证明 $H$ 是正规的，但不是局部仿紧的 [cf. 章 I, § 9, 习题 12 b)]。

c) 令$X$为拓扑空间，并让$\Phi$为闭集合对$X$的覆盖，它们是$X$的仿紧子空间，使得每个$A \in \Phi$在$X$中有邻域，其中属于至 $\Phi$。设$X'$为集合，即$X$和点$\omega$的和；以$X'$中$x \in X$邻域的系统为基础，以$X$中$x$所有邻域的集合为基础，以$X'$上的定义拓扑为基础， $\omega$ 邻域系统由$\Phi$ 集合 $X'$ 的补码生成过滤器基 [cf. 习题 20 c)]。证明 $X'$ 是仿紧的。