习题 30, § 4

令$X$为正常空间，并令$g$（或$f$）为$X$上的上（或下）半连续函数，使得$g \leq f$。证明 $X$ 上存在连续实值函数 $h$，使得 $g \leq h \leq f$。 [约化对于$f$和$g$在$[0, 1]$取其值的情况。对于每个二元数 $r \in [0, 1]$，令 $F(r)$ [resp. $G(r)$]是所有$x \in X$中的集合，使得$f(x) \leq r$（或$g(x) < r$）。 定义由归纳组成的一个开放族集合 $U(r)$（其中 $r$ 贯穿 $[0, 1]$ 中包含的二进数的集合），这样当 $r < r'$ 时我们有 $F(r) \subset U(r')$， $\overline{U(r)} \subset U(r')$和$\overline{U(r)} \subset G(r')$，通过模仿no. 1的定理1中的证明；然后完成证明，如定理 1。]