习题 12, § 5

如果 $X$ 的每个非空 闭 子空间都是非贫乏的，则拓扑空间 $X$ 被称为“完全非贫乏”。局部紧凑的空间是完全不贫乏的，完整度量空间也是如此。

a) 证明完全非微薄正则空间是 Baire 空间。

b) 在可访问的完全非稀疏空间中，非空可数闭集合很薄（习题2），因此至少有一个孤立的点。

c) In a totally non-meagre space $X$, every subspace $A$ which is the intersection of a countable intersection of open sets in $X$ is totally non-meagre (if $F$ is a subset of $A$ which is closed in $A$, let $\overline{F}$ be the closure of $F$ in $X$, and show that $\overline{F} \cap C_F$ is meagre relative to $\overline{F}$).

d) 如果拓扑空间$X$的每个点都有邻域，这是一个完全非贫乏的子空间，那么$X$是完全非贫乏的。