习题 21, § 5

a) 令 $(f_n)$ 为拓扑空间 $X$ 的连续映射到完全正规空间 $Y$ (§ 4, 习题 8) 的序列，使得对于每个 $x \in X$， 序列$(f_n(x))$在$Y$中有极限$f(x)$。证明，对于$Y$的每个闭子集$S$，$A = \bar{f}^{-1}(S)$是开集合的可数交。 [$Y$中存在开集合的递减序列$(U_n)$使得$S = \bigcap_n \overline{U_n}$； 注$f(x) \in S$当且仅当，对于每个整数$n > 0$，存在整数$k \geq 0$使得$f_{n+k}(x) \in U_n$。] 推断$\overline{A} - A$在$X$中是微薄的。

b) 从a)推导出，如果我们假设在加法中$Y$是可数型的可度量空间，那么所有$x \in X$中集合使得$f$在$x$不连续是微不足道的。 [如果$(V_n)$是$Y$的拓扑基并且如果$S_n = Y - V_n$和$A_n = \bar{f}^{-1}(S_n)$，则表明$x$必须属于到集合$\overline{A}_n - A_n$之一。]