习题 27, § 5

a) 令$G$为拓扑群，并令$A$为$G$中的近开集合 (习题 6)。证明如果 $A$ 不是微薄的，那么 $AA^{-1}$ 就是 $G$ 中单位元素的邻域。 [注首先，由于习题，$G$是贝尔空间 3。令$A^*$为所有开放集合$U \subset G$的并，使得$U \cap CA$微薄。证明 $A^*$ 不为空，并且如果 $x \in G$ 使得 $xA^*$ 满足 $A^*$，则 $xA$ 满足 $A$。因此表明 $AA^{-1} \supset A^*(A^*)^{-1}.$]

b) 从 a) 推断出拓扑群 $G$ 的几乎开子群要么是微弱的，要么是开（且闭）的。特别是，可数拓扑群是 Hausdorff Baire 空间 ，它是离散的。

c) 证明拓扑群$R$存在子群$H$，使得$R/H$可数无穷（使用Hamel基）；这样的子群是密集的，但不稀疏，也不近乎开放。

d) 令 $G$ 为可度量拓扑群，其左右均匀性重合。证明如果$G$上存在一个度量，与$G$的拓扑兼容，并且$G$是一个完整的度量空间，那么$G$是一个完整的可度量群[使用b)； § 3、习题2；和§ 2，习题24]​​。