习题 12, § 6

令$X$为可度量的空间，并令$f$为$X$的紧凑子集到$\overline{\mathbf{R}}$的集合$\mathscr{K}(X)$的映射，满足条件（CA$_I$）（对于两个紧凑的子集 $X$) 和 (CA$_{III}$)。对于$X$的每个子集$A$，让$f_*(A)$表示数$f(K)$的最小上界，对于$A$的所有紧致子集$K$，让$f^*(A)$表示下确界 $f_*(U)$ 全部开放集合 $U$ 包含于 $A$。如果$f_*(A) = f_*(A)$，则$A$相对于$f$来说是“可接受的”。

a) 证明对于$X$的每个紧致子集$L$和每个$\varepsilon > 0$，都存在一个开集合$U \supset L$，这样，对于$X$的每个紧致子集$K$（其中$L \subset K \subset U$），我们有$f(K) \leq f(L) + \varepsilon$。 （用反证法论证。） 推出$X$的每个紧子集和每个开子集对于$f$都是可接受的。

b) 假设$f$满足以下条件：

(AL) 对于紧凑子集 $K, K'$ $X$ 的每个对，我们有

证明如果 $(K_i)$ 是紧集和性质的有限族 如果$(K'_i)$是紧集的另一个有限族，由相同的集合索引，这样每个$i$都有$K'_i \subset K_i$和$f(K'_i) > -\infty$，那么我们有

令$(A_i), (B_i)$为$X$的子集的两个有限族，具有相同的指标集合，使得$B_i \subset A_i$对应于每个$i$，$f^* \left( \bigcup_i A_i \right) < +\infty$和$f^*(B_i) > -\infty$对应于每个$i$。证明如果 $f$ 满足 (AL)，我们有

[约化到指标集合有两个元素的情况。首先考虑$A_i$和$B_i$开集合的情况，并使用以下引理：如果$U_1, U_2$是两个开集合，并且$K$是$U_1 \cup U_2$中包含的紧集，则存在紧集 $K_i \subset U_i \ (i = 1, 2)$使得$K \subset K_1 \cup K_2$。]

c) 假设$f$满足条件(AL)。证明对于 $X$ 的子集的每个递增序列 $(A_n)$，使得 $f^*(A_n) > -\infty$，我们有 $f^* \left( \bigcup_n A_n \right) = \sup_n f^*(A_n)$ [使用 b)]。推论如果$f$在$\mathscr{K}(X)$上不取值$-\infty$，则$f^*$是$X$上的容量。

d) 假设$f$满足条件(AL)。证明可允许的集合的任意序列 $(A_n)$ 中的并使得每个 $n$ 的 $f^*(A_n) > -\infty$ 都是可允许的。 [使用 b) 和 c)。]