习题 13, § 6

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一般拓扑, IX

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令 $K$ 为 $\mathbf{R}^2$ 的紧致子集。对于每个实数 $y$ ，令 $\delta_1(K, y)$ [resp. $\delta_2(K, y)$ ] 表示 $K \cap ([0, +\infty[ \times \{y\})$ [resp.] 的直径。 $K \cap ([-\infty, 0] \times \{y\})$ ]。证明函数 $y \to \delta_1(K, y)$ 和 $y \to \delta_2(K, y)$ 是上半连续。令 $\varphi$ 是递增连续 $[0, +\infty]$ 的映射自身，使得 $\varphi(0) = 1$ 和 $\varphi(+\infty) = 2$ ，并令

\psi(K, y) = \varphi(\delta_1(K, y)\delta_2(K, y)) \quad \text{and} \quad f(K) = \int_{\operatorname{pr}_x(K)} \psi(K, y) \, dy.

证明

f

满足条件 (CA_I) 和 (CA_{III})，并且对于

\mathbf{R}^2

的紧致子集

K, K'

的每个对，我们都有

f(K \cup K') \leq f(K) + f(K')

。但如果

A

是由

x \geq 0

和

0 \leq y \leq 1

定义的闭集合，则证明

f_*(A) = 1

和

f^*(A) = 2

。 \*

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。