习题 14, § 6

令$X$为可度量的空间，并令$f$为$X$的容量，使得$f(A \cup B) \leq f(A) + f(B)$。

a) 利用习题 12 中的记号，证明 $X$ 中任意两个子集 $A, B$ 都有 $f^*(A \cup B) \leq f^*(A) + f^*(B)$ 和 $f_*(A \cup B) \leq f_*(A) + f_*(B)$。 [如果$K$是$A \cup B$中包含的紧集，并且$U$是开集合包含$B$，则将$K$写在形式$K = (K \cap U) \cup (K \cap \overline{U})$中。]

b) 令$K$为$X$的紧致子集，具有幂的连续统，并令$(A, B)$为$K$的划分分成两个集合，使得$A$或的每个紧致子集 $B$ 是可数的 [cf. § 5, 习题 18 d)]。证明如果$f(\{x\}) = 0$对于所有$x \in X$并且如果$f(K) > 0$，那么$A$和$B$都不能满足$f$的要求。