习题 3, § 6

a) 证明$\mathbf{R}$的每个完全不连通的子空间都是零维的。

b) 设$K$为康托三元集合；每个$x \in K$都可以唯一地写成形式$x = \sum_{k} 2/3^{n_k}$，其中$(n_k)_{k \geq 1}$是严格递增的（有限或无限）序列或整数$> 0$（章IV, § 8，习题9）；并且定义$f(x)$为数$\sum_{k} (-1)^{n_k}/2^k$。令$G$为函数$f$在$K \times \mathbf{R}$中的图。证明可度量的空间 $G$ 是完全断开的，但不是零维的。 [注 $\overline{G}$ 的交以及线 $\{0\} \times \mathbf{R}$ 包含一个开区间包含点 $(0, 0)$。]