习题 1, § 4

a) 让$(x_n, y_n)_{n \in \mathbf{Z}}$是$\mathbf{R}^2$的点的族，这样对于所有$n \in \mathbf{Z}$我们有$x_n < x_{n+1}$并且

证明，对于所有整数 $n \in \mathbf{Z}, m > 0, p > 0$，我们有

b) 如果 $a > 0$ 和 $x \neq 0$，则将

证明，如果$x < y, x \neq 0, y \neq 0$和$a \neq 1$，我们有$f_a(x) < f_a(y)$[首先证明$x, y$积分的关系，通过$a$]，然后证明$x, y$有理数，最后证明一般]。

c) 推出，对于所有$a > 0$，为$x \neq 0$定义的函数$f_a(x)$，右侧有极限，左侧有极限，即$x \to 0$；表明这两个极限有公共的值$\varphi(a)$，并且如果$a \neq 1$则有$\varphi(a) \neq 0$。证明如果为 $x \neq 1$ 定义的 $a \neq 1$、函数 $\log_a x/x - 1$，则倾向于极限 $1/\varphi(a)$ 为 $x \to 1$。

d) 证明，对于所有 $a > 0$ 和 $b > 0$，我们有 $\varphi(b) = \varphi(a) \log_a b$（如果 $a \neq 1$）。推断在 2 和 4 之间存在数 $e$，使得 $\varphi(e) = 1$，并且对于所有 $a > 0$ 存在 $\varphi(a) = \log_e a$。