习题 12, § 1

a) 令$f$为$\mathbf{R}$到$\mathbf{R}$的映射，令$G \subset \mathbf{R}^2$为$f$的图。假设$G$在$\mathbf{R}^2$中是稠密的，并且满足$\mathbf{R}^2$中的每个完美集合，该完美集合不包含在第$\{x_n\} \times \mathbf{R}$行的任何可数并中。表明 $G$ 已连通。 （如果这是假的，证明$\mathbf{R}^2$中存在两个非空不相交的开集合$A, B$，使得$G$是$G \cap A$和$G \cap B$的并，并且至少存在一个点 $A$和$B$的一个点具有相同的横坐标，利用$\mathbf{R}$相连的事实，然后使用习题11。）

b) 由a)推导出$\mathbf{R}$有线性映射$f$进入$\mathbf{R}$，其图$G$在$\mathbf{R}^2$中稠密且连通。 [使用a)和习题11，定义通过$f$的超限归纳值在点的Hamel基的$\mathbf{R}$，使用与集合中相同的方法理论，章III, § 6，习题24.]推出$\mathbf{R}^2$的子群$G$满足条件(R_I)和章的(R_{II}) V, § 3、习题 4，但不是局部紧凑的，因此拓扑严格地比更细通常的拓扑为$\mathbf{R}$；并且$G$不是本地连接的。