习题 10, § 3

在射影空间 $\mathbf{P}_n$ 中，令 $H_{n,p}$ 为由方程定义的“二次曲面”

证明 $H_{n,1}$ 和 $H_{n,n}$ 同胚于 $S_{n-1}$。如果$2 \leq p \leq n-1$，$H_{n,p}$同胚于空间，通过识别乘积$S_{p-1} \times S_{n-p}$的每个点（视为$\mathbf{R}^p \times \mathbf{R}^{n-p+1}$的子空间）与其完全相反的点而获得。 $H_{n,p}$ 的每个点都有一个与 $\mathbf{R}^{n-1}$ 同态的开邻域。

证明$H_{3,2}$与$S_1 \times S_1$同胚[认同$S_1 \times S_1$，其中$S_1 \times S_1$的直径相对的点的$T \times T$、对与点的对相同$T \times T$的$(u, v)$和$(1/2 + u, 1/2 + v)$；然后考虑 $T \times T$ 的映射 $(u, v) \to (u + v, u - v)$ 自身]。

II) 在射影空间 $P_n$ 中，令 $C_{n,p}$ 为由方程定义的“二次锥体”

证明$C_{n,p}$中$\{0\}$的补集与$\mathbf{R} \times H_{n-1,p}$同胚，其中记号为习题 10。