习题 3, § 2

每个 $p$-adic 数 $x$ (习题 2) 都可以写成形式

其中$\alpha_k$是有理整数，指标$k < 0$的那些是零，除了指标$k$的值的有限数之外。此外，如果

有理数数 $\sum_{k=-\infty}^{-1} \alpha_k p^k$ 和 $\sum_{k=-\infty}^{-1} \beta_k p^k$ 同余 mod 1。令 $\varphi_p(x)$ 为有理数数 $\sum_{k=-\infty}^{-1} \alpha_k p^k$ 的类 mod 1。

a) 证明$\varphi_p$是拓扑群$\mathbf{Q}_p$到$\mathbf{T}$的连续同态，并且对于$\mathbf{Q}_p$到$\mathbf{T}$的每个连续同态$f$，都存在一个唯一的$a \in \mathbf{Q}_p$，使得$f(x) = \varphi_p(ax)$ 适合所有 $x \in \mathbf{Q}_p$。 [注元素$f(p^k)$对于$k \leq 0$确定$f$的知识是唯一的；证明每个元素都是分母为 $p$ 的幂的分数的类 mod 1；因此表明存在 $a \in \mathbf{Q}_p$ 使得 $f(p^k) = \varphi_p(ap^k)$ 对于所有 $k \leq 0$。]

b) 表明，如果 $\varphi : \mathbf{R} \to \mathbf{T}$ 是典范同态，则 $\varphi(x) = \sum_p \varphi_p(x)$ 对于所有 $x \in \mathbf{Q}$，和超过所有素数数 $p$（观察到，除了这个和的项的有限数之外）将是零）。